Sayılar ve Matematik

Matematik denince pekçok insanın ilk aklına gelen sanıyorum “sayılar”dır. Sayılar muhteşem eşyadır. Fakat sayılara odaklanıp, biraz üzerinde düşünmeye başladığınızda aslında onlar hakkında ne derece az şey bildiğimizi farketmek delicesine hayrete düşürür bizleri:

“Bir sayının aslında ne olduğunu nasıl tanımlarsınız? Bir sayıyı “gerçek” yapan nedir? Ya da “gerçek sayı” yapan nedir? Kaç tane sayı var? Birbirinden çok farklı kaç çeşit sayı var?” (Bu metni okuyanlar arasında cevap verebilen var mı bu sorulara?)

Aslına bakarsanız, sayılar ile ilgili tüm soruları cevaplamak için 20 ya da otuz kadar kitap yazmak gerekli... O nedenle bu yazı dizisinde sizleri sayılar dünyasında, sayıların ne olduğu hakkındaki bazı temel bilgileri öğrenmenize ve bazı garip ve ilginç özellikleri ile ilgili gerçeklikleri anlamanıza yardımcı olacak bir yolculuğa çıkartacağım.

DOĞAL SAYILAR

Sayı nedir?

Matematikte bu soruya birkaç farklı şekilde cevap verilebilir: 

• Sayıların ne anlama geldiğine bakarak “Semantik” diliyle cevap verebiliriz bu soruya. 
• Ya da sayıların nasıl davrandığına bakarak “Aksiomatik” olarak cevap verebiliriz. 
• Ya da, sayıların diğer basit nesnelerle nasıl “inşa” edildiğine bakarak “Yapısal” olarak cevap verebiliriz.

Semantik ile başlayalım; sayıların ne anlama geldiğini; “sayı nedir?” sorusunun cevabını bildiğimizi zannederiz ama çoğu zaman düşündüklerimiz aslında yanlıştır. İnsanlar sayının sadece bir “şey” ya da “tek şey” olduğunu düşünürler. O da saymak için kullandığımız bir araç olduğudur. Bu aslında yanlıştır. Sayılar, nasıl kullanıldıklarına bağlı olarak “iki şey” ifade eder, ya da iki farklı anlama gelir:

İki tip sayı vardır. 3 rakamını gördüğümüzde aslında tek başına ne anlam ifade ettiğini bilemeyiz. Bu iki anlamdan hangisini temsil ettiğini bilmediğimizde, “3” rakamı manasızdır. Biraz sonra derinlemesine inceleyeceğimiz üzere; 

• “3 (üç)” “üç elmam var” cümlesindeki üç, ya da 
• “yarışmada 3. (üçüncü) oldum” cümlesindeki  “üç” anlamına gelebilir. 

“Üç elma”daki “3”, bir çokluk (kardinalite – “count - saymak” teriminden türetilmiştir) tanımlarken, “üçüncü olmak” deyimindeki  “3”, bir sıralama (ordinalite – “order – sıralama” teriminden türetilmiştir) tanımlar.

• Bir kardinal sayı, bir grup içerisinde “kaç adet” nesne olduğunu “saymak”için kullanılır. “Üç elma istiyorum” dediğim zaman, buradaki “üç” bir kardinaldir. 
• Ordinal bir sayı ise, bir nesnenin ait olduğu grup içerisinde “nerede” olduğunu anlatmak için kullanılır. Gerek İngilizce’de gerekse Türkçe’de, kardinal ve ordinal sayılar arasındaki fark söylemde de dile yansır (her dünya dilinde bu fark mevcut değildir). 
• “Üç” formu kardinaller için, “Üçüncü” formu ise ordinaller için kullanılır. “Kardinal” ve “ordinal” ile dil bilgisi ve söylemdeki fark aynı ayrımsamayı betimler.

Kardinal / Ordinal ayrımı, setler ile ilgili teorileri incelemeye başladığımızda belirginleşecek. Şimdilik, şu temel tespit bizim için yeterli: Kardinaller nesneleri sayar; ordinaller ise onların yerini belirtir.

Aksiomatik kısım çok daha ilginçtir;

Aksiomatik bir tanımlamada, neyi aradığımızı bir “kural kolleksiyonu” ile anlatırız. Bu kolleksiyon içerisindeki her bir kural, bir “aksiom” olarak adlandırılır. Aksiomlar, sayıların (ya da her neyi tanımlıyorsak onun) nasıl davrandığını çözmemizi sağlar. Matematik söz konusu olduğunda, bir gerçekliği açıklamak için daima aksiomlar kullanılır çünkü, aksiomatik tanımlar, bir şey ile ilgili imkanlar ve o şeyin nasıl çalıştığı ile ilgili tüm belirsizlikleri ve anlam karmaşasını ortadan kaldırır. Aksiomatik bir tanımı okur okumaz anlamak mümkün olmayabilir (aksiomatik ifadeler sezgisel ve kullanıcı dostu değildir. Örneğin bir rakamı gösterip adını söylemek ve öğretmek kolaydır: 3 = üç gibi... Ancak aksiomlar bunun böyle olduğunu dolaylı bir şekilde ve en ufak bir şüpheye yer vermeksizin, kesin olarak açıklamaya yarayan kurallardır). Aksiomlar son derece titiz bir şekilde ve düzenli mantığa uygun tanımlar yapmayı mümkün kılar. Aksiomlar ile ispat edilen her teorem, mutlaka ve mutlaka doğrudur.

Aksiomatik Dille, Doğal Sayılar

Doğal sayılar hakkında konuşarak başlayalım. Doğal sayılar (N ile ifade edilir) sıfır ve sıfırdan büyük pozitif tam kesirli sayılardır.

Sayılar ile ilgili konuşmaya başladığımızda, öncelikle doğal sayıları anlatmamız gerekir, çünkü onlar temel sayılardır. Diğer tüm sayı türleri, doğal sayılar kullanılarak türetilir ya da ifade edilir. Matematiği öğrenmeye; farkında olmadan, sezgisel olarak çocukluk yıllarında doğal sayıları öğrenerek ve anlayarak başlarız. Doğal sayılar tam sayılardır. Kesirleri ya da ondalık dilimleri yoktur. Sıfırdan başlar ve birer artarak sonsuza kadar gider: 0,1,2,3,4,5,6,... (bilgisayarda işlenebilen herşey doğal sayılarla ifade edilir)

1. Doğal sayılar, gerçekte “Peano Aritmetiği” denilen bir dizi kural ile ifade edilir. Başka bir ifade şekli ile, Peano Aritmetiği, doğal sayıları anlatmak için bir aksiom listesi şart koşar:
2. Başlangıç değeri kuralı: Adı “sıfır (0)” olan tek ve sadece bir özel rakam vardır. Doğal sayılar bu rakam ile başlar ve “sıfır” bir doğal sayıdır.
3. Halef kuralı (ardışıklık): Her bir doğal sayının (n) mutlaka bir adet halefi, yani kendinden sonra gelen bir rakam, bir “ardışığı” vardır.
4. Selef kuralı: “Sıfır” hiçbir doğal sayının halefi değildir. Sıfır hariç diğer her doğal sayının selefi, yani kendinden önce gelen bir rakam vardır. Yani sıfır hariç her halef sayının bir de selefi vardır. Arka arkaya gelen iki doğal sayı düşünelim. Bunları “a” ve “b” olarak adlandıralım. Eğer “b” doğal sayısı “a”nın halefi ise o zaman “a” sayısı da “b”nin selefidir.
5. Benzersizlik kuralı: İki farklı doğal sayının selefi aynı olamaz.
6. Eşitlik kuralı: Doğal sayılar ile işlem yapılırken, elde edilen sonuçlar birbirileri ile eşitlik açısından karşılaştırılabilir. Bu durumda üç “alt kural” söz konusudur: Yansıma kuralı, Her sayı kendisine eşittir; Simetri kuralı, eğer a=b ise b=a dır; Geçişkenlik kuralı, eğer a=b ve b=c ise a=c dir.
7. İndiksiyon Kuralı: Bir P ifadesi için, P aşağıdaki durumlarda tüm doğal sayılar için doğrudur, eğer;

• P “0” için doğrudur (ifade olarak; “P(0) doğrudur” şeklinde yazılır)
• Eğer P ifadesinin herhangi bir “n” doğal sayısı için doğru olduğunu “kabul edersek”
  ( “P(n) doğrudur” ), o zaman P’nin “n” doğal sayısı ve ardışık gelen diğer doğal sayılar “s(n)={n,n+1,n+2,n+3,...}”  için doğru olduğunu ispatlayabiliriz (ifade olarak P(s(n)) doğrudur).

Ve tüm bunlar, “doğal sayılar, ardışık sayılardan oluşan, 0 ile başlayan ve sonsuza giden, kesirsiz, ondalık kısmı olmayan tam sayılardır” demenin şık bir yoludur. İnsanlar için, Peano kuralları ile ilk yüzleştiklerinde, genellikle anlaması kolay gelir. Sonuncusu yani indiksiyon kuralı hariç. İndiksiyon, içeriğinde matematik kurnazlığı barındıran bir fikirdir. İndiksiyon kuralını ilk öğrendiğimde hayli zorlandığımı hatırlıyorum. Kendi içinde bir devingenlik (yani kendi kendine referans verme – “recursive”) durumu hissettirmişti. Bunu idrak edebilmek için saçımı başımı yolduğumu hatırlıyorum. Ancak indiksiyon çok önemli ve temel bir kuraldır: Doğal sayılar sonsuz bir dizi oldukları için tüm dizi için birşeyin doğru olduğunu ispatlayabilmek, belirli-sınırlı olandan sonsuz-belirsiz olana bir referans sağlamamızı gerektirir. İndiksiyon bunu yapar. Sınırlı dizilerin ve nesnelerin sınırsız dizi ve nesnelere genişletmemizi ve bu durumda dahi aynı davranışı ve özellikleri gösterdiğini ispatlamamızı sağlar.

Başka bir deyişle indiksiyon kuralının aslında söylediği şey şudur; “size kullanabileceğiniz bir ‘düzen’ sunuyorum: Eğer ilk rakamınız (sayınız) için bir tanım getirebiliyorsanız, bu tanımı diğer – takip eden tüm diğer sayılar için de kullanabilirsiniz. Yapmanız gereken ilk sayıdan başlayarak (0), her bir ardışık sayıyı bir öncekine 1 ekleyerek türetmenizdir.”  Bu düzenden faydalanarak doğal sayılar ile ilgili herhangi bir ifadenin doğruğunu kanıtlayabiliriz (yani bir değer-sayı için geçerli – doğru olan bir ifadenin, diğer tüm doğal sayılar için de geçerli – doğru olduğunu gösterebiliriz. Aynı şekilde, yanlış ifadelerin neden yanlış olduklarını da gösterebiliriz.) Benzer kurnazlıklar, tam sayılar ve doğal sayılar ile türetilmiş tüm diğer tür sayılar için geçerlidir.

Devamı daha sonra (kim bilir ne zaman..?)

Kaynak:

Good Math A Geek’s Guide to the Beauty of Numbers, Logic, and Computation
Mark C. Chu-Carroll 
ISBN-13: 978-1-937785-33-8